Applicazioni dei valori estremi al Risk Management.
(Stage presso Kpmg)

Stefano Fenocchi, Facoltà di Economia - Università di Pavia
Relatore: prof. Paolo Giudici

L'accresciuta volatilità che si è manifestata negli ultimi anni nei mercati finanziari ha contribuito in maniera determinante allo sviluppo di strumenti in grado di poter calcolare in maniera analitica e di stimare un'entità soggettiva e perciò difficilmente misurabile, come il rischio. In particolare, in questo lavoro cercheremo di prevedere il Value at Risk - VaR, ossia valore a rischio, cioè quella somma di denaro che un soggetto, detentore di un dato portafoglio titoli, potrebbe perdere il giorno, la settimana, il mese successivo, a seconda del periodo temporale di riferimento, a causa di andamenti sfavorevoli del mercato. In definitiva, il VaR, non è che un numero, ed in quanto tale ben si presta a rappresentare una misura riassuntiva del rischio. Una volta stimato, l'investitore prudente dovrà mantenere una pari entità di denaro in forma liquida, allo scopo di proteggersi contro le eventuali perdite future.

Motivati dai recenti alti e bassi che si sono verificati nei mercati azionari, in Italia (e non solo), ed in particolare dai diversi "crash" subiti dalle borse internazionali nella prima metà del 2000, analizzeremo il VaR in un'ottica diversa da quella tradizionale, ossia da un punto di vista che ci permetta di ottenere una misura del rischio in grado di prevedere le grosse perdite appena menzionate, o che perlomeno ci consenta di limitare i danni. Mostreremo che un'analisi VaR di tipo tradizionale, mentre funziona ottimamente quando le quotazioni si muovono in maniera "normale", non è in grado di proteggerci adeguatamente contro le perdite nei casi in cui i mercati cominciano a manifestare segni di nervosismo che culminano, in definitiva, in ribassi molto consistenti. In quest'ultima situazione, mostreremo che un'analisi tradizionale conduce a delle previsioni che sottostimano il rischio, e che portano quindi l'investitore a stanziare una quantità insufficiente di somme liquide a titolo di copertura rischi.

La nostra analisi si soffermerà sul caso in cui si possieda un solo titolo nel portafoglio.
Nel capitolo 1 introdurremo alcuni strumenti analitici, come le distribuzioni di valori estremi (Fréchet, Weibull e Gumbel), il concetto di massimo dominio di attrazione, la distribuzione di Pareto generalizzata, la quale verrà applicata nell'ambito della metodologia POT (peaks over threshold), che ci serviranno nel successivo capitolo 2, in cui porremo le basi per una stima del VaR che tenga conto della possibilità che si manifestino perdite molto elevate, o valori estremi. La teoria introdotta si chiama appunto teoria dei valori estremi, oppure semplicemente EVT (da extreme value theory) ed è di recentissimo sviluppo nella letteratura (cfr.Embrechts 1997).
Il capitolo 3 tratterà invece degli approcci più tradizionali alla stima del Value at Risk. In particolare parleremo dell'approccio varianze-covarianze, introdurremo la metodologia di Monte Carlo ed infine la distribuzione lambda generalizzata.
Il capitolo 4 è costituito dall'applicazione di alcune tra le metodologie menzionate in precedenza.

In una prima fase utilizzeremo dati relativi ad un'opzione emessa sul titolo generali. Su tali dati, che non presentano valori estremi, applicheremo dapprima un'analisi basata sull'approccio varianze covarianze, mentre in un secondo momento utilizzeremo una metodologia basata sull'EVT e faremo quindi un confronto tra i risultati ottenuti.
In una seconda fase utilizzeremo dati che ben si adattano alla teoria dei valori estremi. Prima analizzeremo i dati relativi alle chiusure dell'indice Bovespa brasiliano, poi quelli relativi alle chiusure dell'indice Hang Seng di Hong Kong. Anche in questa seconda fase applicheremo entrambi gli approcci che abbiamo nominato in questa sede, allo scopo di ottenere un confronto tra i risultati.

La prima applicazione sulle opzioni ha dimostrato la buona performance dell'approccio varianze- covarianze e la sostanziale equivalenza dei risultati con quelli ottenuti applicando uno degli approcci EVT, in particolare il modello Weibull. Tali risultati equivalgono sostanzialmente anche a quelli ottenuti applicando la metodologia di Monte Carlo alla distribuzione lambda generalizzata (cfr. Paola Fontana e Paolo Giudici, 2000).

La seconda applicazione è stata realizzata adattando una Fréchet. Essa ha generato un VaR che conduce a valide previsioni, ma inefficiente. Prima di proseguire l'elencazione sommaria dei risultati ottenuti, chiariamo il discorso legato al significato di inefficienza del VaR. Con il termine "efficiente" noi indichiamo un VaR che deve rispettare due condizioni. Da un lato esso non deve essere superato dalle perdite realizzate per troppe volte, dall'altro non deve essere eccessivamente elevato. Nel primo caso subiremmo delle perdite reali, nel secondo saremmo obbligati a trattenere più denaro del necessario a titolo di copertura rischi e questo genera, a sua volta, dei costi.

Infine, nella terza applicazione, abbiamo utilizzato i dati dell'indice Hang Seng e abbiamo utilizzato la metodologia POT, utilizzando il modello della distribuzione Pareto generalizzata, che ha portato ad una performance nettamente superiore rispetto alla modellistica tradizionale.

Va ora ricordato che, il metodo POT, come altri metodi previsti dall'EVT, richiede (come vedremo meglio in sede più opportuna), il contributo soggettivo del ricercatore, il quale deve fissare una costante che individuerà i k rendimenti negativi più grossi, tra quelli osservati (statistiche d'ordine), che verranno utilizzati per il calcolo delle stime. Questo impedisce di automatizzare la procedura di calcolo del VaR, e rallenta il lavoro quando si devono calcolare molte stime di esso, come abbiamo fatto nel paragrafo 4.3.3 dedicato al POT, a meno che si stabiliscano dei criteri di scelta sufficientemente oggettivi, tali da automatizzare la procedura. Relativamente all'EVT, la maggior parte dei calcoli, delle stime e dei grafici esplorativi è stata realizzata con la versione beta del software Xtremes, disponibile "free" al sito Internet www.xtremes.math.uni-siegen.de/. Tuttavia, tale software non contempla alcune funzioni a noi indispensabili, come il grafico dello stimatore di Hill, presentato nel paragrafo 2.3.2, per ottenere il quale abbiamo sviluppato una macro apposita in Excel 97, e come la stima della Pareto generalizzata esattamente nel modo da noi richiesto e per la quale abbiamo adottato un piccolo "accorgimento", descritto nell'appendice A.2.4.

Manca quindi un software apposito se si adotta l'approccio della teoria valori estremi con il fine di calcolare stime del VaR.
In conclusione, da quanto detto in questa introduzione e dai risultati ottenuti nelle applicazioni, segue una considerazione importante. I vari metodi qui studiati e applicati non sono sempre i migliori o i peggiori in assoluto.

E' il singolo problema da risolvere che deve suggerire quale modello applicare e la teoria dei valori estremi è un ottimo strumento da impiegare nei casi in cui l'andamento del mercato sia caratterizzato da improvvisi tracolli, che altrimenti determinerebbero perdite rilevanti nelle tasche dell'investitore.